# 【迁移】时空图：以天狼星单程旅行为例

Last updated on March 19, 2024 pm

最近看《从一到无穷大》，对里面的闵氏时空图很感兴趣，恰好里面有去天狼星的例子，因此想用时空图画画看。为简化问题，这里取天狼星到地球的距离为9光年，实际约为8.6光年。同时为了便于画图，纵轴时间轴以年×光速为单位，横轴空间轴以光年为单位。使用 geogebra 进行绘图。

## 出发前的时空图

如图1所示，线段g（CAD）表示飞船，A点为质心。直线f表示天狼星B的世界线。射线h（AE）表示A的光锥。射线i（AF）表示飞船的将来的世界线，其速度为 tanα=0.9 倍光速。

## 出发后的时空图

如图2所示，为了便于绘图，减小了α。直线AF与直线AL构成了以飞船为参考系的新时空坐标系。

- x’为0的直线AF为新的纵轴，t’为0的直线AL为新的横轴，两者关于AE轴对称
- AB在新坐标系的几何位置为（AL，AK），物理位置为（ALβ，AKβ）

## 一些有趣的发现

1. AB的时空距离原来为 9，现在AB’的时空距离依然为 9，即 92+(0 i)2=20.6 52+(−18.58 i)2 9^2 + (0i)^2 = 20.65^2 + (-18.58i)^292+(0i)2=20.652+(−18.58i)2
2. AF、AL上的单位对应的几何长度均变为原来的 1/β，即 ∣AF→∣β=t A F′→′∣AL→∣β=x A B′→′\lvert\overrightarrow{AF}\rvert\beta = t'_{ \overrightarrow{AF'}} \quad \lvert\overrightarrow{AL}\rvert\beta = x'_{ \overrightarrow{AB'}}∣AF
   ∣β=tAF′
   ′​∣AL
   ∣β=xAB′
   ′​
3. 对于出发的飞船上的人来说，旅行只花了 4.36 年，小于 10 年，即 t A F′→′=4.36<10=t AF→t'_{ \overrightarrow{AF'}} = 4.36 \lt 10 = t_{ \overrightarrow{AF}}tAF′
   ′​=4.36<10=tAF
   ​
4. 对于出发的飞船上的人来说，天狼星距离为 3.92 光年，小于9光年，B’点的天狼星是 18.58 年前的幻影，现在的天狼星是M’点的天狼星，即 x A M′→′=(∣AB→∣cosα)β=3.92<9=x AB→x'_{ \overrightarrow{AM'}} = (\frac{ \lvert\overrightarrow{AB}\rvert}{cos\alpha})\beta = 3.92 \lt 9 = x_{ \overrightarrow{AB}}xAM′
   ′​=(cosα∣AB
   ∣​)β=3.92<9=xAB
   ​
5. 对于出发的飞船上的人来说，天狼星靠近的速度 v = 3.92/4.36 = 0.9 倍光速，与外界观察飞船飞行的速度一致
6. 飞船感知外界的空间长度 x AB→=9 x_{\overrightarrow{AB}} = 9xAB
   ​=9 变成了空间长度 x A B′→′=∣AL→∣β=20.65 x'_{\overrightarrow{AB'}} = \lvert\overrightarrow{AL}\rvert\beta = 20.65xAB′
   ′​=∣AL
   ∣β=20.65，变长了γ倍，外界尺子变长了
7. 飞船感知外界的时间长度 t AF→=10 t_{\overrightarrow{AF}} = 10tAF
   ​=10 变成了时间长度 t A F′→′=∣AF→∣β=4.36 t'_{ \overrightarrow{AF'}} = \lvert\overrightarrow{AF}\rvert\beta = 4.36tAF′
   ′​=∣AF
   ∣β=4.36，缩短为1/γ，外界时间变快了
8. 飞船认为外界“尺长钟快”，因此外界认为飞船上“尺缩钟慢”
9. 根据四维时空距离不变性，可以轻松计算飞船感知的旅程时间耗费，飞船参考系下的AF’的时空长度与外界参考系下AF的时空长度一致，即 (i∣A F′→∣)2=(i∣AF→∣β)2=A B 2+(iBF)2(i\lvert\overrightarrow{AF'}\rvert)^2 = (i\lvert\overrightarrow{AF}\rvert\beta)^2=AB^2+(iBF)^2(i∣AF′
   ∣)2=(i∣AF
   ∣β)2=AB2+(iBF)2

#时空图
【迁移】时空图：以天狼星单程旅行为例
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Author
Limour
Posted on
July 5, 2022
Updated on
March 19, 2024
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