时空图：以天狼星单程旅行为例

最近看从《从一到无穷大》，对里面的闵氏时空图很感兴趣，恰好里面有去天狼星的例子，因此想用时空图画画看。为简化问题，这里取天狼星到地球的距离为9光年，实际约为8.6光年。同时为了便于画图，纵轴时间轴以年×光速为单位，横轴空间轴以光年为单位。使用geogebra进行绘图。使用latex书写公式。

公式和绘图参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/66672960

第一步 出发前的时空图

图1 出发前的时空图

如图1所示，线段g（CAD）表示飞船，A点为质心。直线f表示天狼星B的世界线。射线h（AE）表示A的光锥。射线i（AF）表示飞船的将来的世界线，其速度为 tanα=0.9 倍光速。

第二步 出发后的时空图

图2 出发后的时空图

如图2所示，为了便于绘图，减小了α。直线AF与直线AL构成了以飞船为参考系的新时空坐标系。

• x’为0的直线AF为新的纵轴，t’为0的直线AL为新的横轴，两者关于AE轴对称
• AB在新坐标系的几何位置为（AL，AK），物理位置为（ALβ，AKβ）

第三步 看一些有趣的发现

• AB的时空距离原来为9，现在AB’的时空距离依然为9
• 对于出发的飞船上的人来说，旅行只花了4.36年，小于10年
• 根据四维时空距离不变性，可以轻松计算飞船感知的旅程时间耗费：(iAFβ)^2=AB^2+(iAF)^2
• 对于出发的飞船上的人来说，天狼星距离为3.92光年，小于9光年
• 对于出发的飞船上的人来说，自身的速度 v = 3.92/4.36 = 0.9 倍光速，与外界观察一致。
• AF、AL上的单位对应的几何长度均变为原来的1/β
• 飞船感知外界的空间长度AB’变成了空间长度ALβ，变长了γ倍，外界尺子变长了
• 飞船感知外界的时间长度AF’变成了时间长度AFβ，缩短为1/γ，外界时间变快了
• 飞船认为外界“尺长钟快”，因此外界认为飞船上“尺缩钟慢”